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La filosofía de las matemáticas es el estudio filosófico de los conceptos y métodos matemáticos. Se ocupa de la naturaleza de los números, los objetos geométricos y otros conceptos matemáticos; se ocupa de sus orígenes cognitivos y de su aplicación a la realidad. Aborda la validación de los métodos de inferencia matemática. En particular, trata los problemas lógicos asociados a la infinitud matemática.
Entre las ciencias, las matemáticas mantienen una relación única con la filosofía. Desde la antigüedad, los filósofos las han envidiado como modelo de perfección lógica por la claridad de sus conceptos y la certeza de sus conclusiones, por lo que han dedicado muchos esfuerzos a explicar su naturaleza.
En esta guía de estudio se recomiendan fuentes que ofrecen una introducción a las principales cuestiones de la filosofía de las matemáticas y a los puntos de vista históricamente importantes sobre estas cuestiones. Un cierto conocimiento de las matemáticas es un requisito previo para reflexionar sobre estas cuestiones. El libro ¿Qué son las matemáticas?, de Richard Courant y Herbert Robbins, es una brillante exposición de los temas y métodos de las matemáticas modernas. El libro está pensado para profanos, pero no se ha omitido nada de la esencia de las matemáticas; no es un libro sencillo, pero sí gratificante.
La mayoría de los filósofos han presentado sus puntos de vista sobre las matemáticas en obras sobre temas más generales. La antología Philosophy and Mathematics, de Robert Baum, contiene selecciones sobre matemáticas de los principales filósofos occidentales, desde Platón hasta Mill. Las selecciones incluyen material suficiente para contextualizar las opiniones de cada filósofo sobre las matemáticas, y los ensayos introductorios de Baum trazan las influencias filosóficas en cada pensador.
Los puntos de vista más influyentes han sido los de Platón y Kant, y Baum tiene una sección sobre cada uno de ellos. Los objetivistas interesados pueden complementar la sección de Baum sobre Aristóteles con el libro de Thomas Heath, Mathematics in Aristotle. El libro de Baum también contiene algunos ensayos modernos, de los cuales merece la pena leer "The Elusiveness of Sets" de Max Black, una crítica de la epistemología de los teóricos de conjuntos.
La teoría de la mecánica de Newton, y su invención del cálculo integral y diferencial en apoyo de la misma, se cuentan entre los mayores logros de la historia. La idea central de límite es lógicamente sutil (esta sutileza es lo que hace desconcertante la paradoja de Aquiles de Zenón), y Newton no trató los límites con rigor. Sus detractores -sobre todo Berkeley- insistieron mucho en este defecto. Cauchy, Weierstrass y otros matemáticos del siglo XIX desarrollaron una teoría rigurosa de los límites, que proporcionó una base irrefutable para la teoría de Newton y es una piedra angular del análisis matemático moderno. Esta historia de éxito epistemológico está bien relatada en The History of the Calculus and Its Conceptual Development, de Carl Boyer .
Otra joya lógica que constituye un rasgo central del análisis matemático moderno es la idea de problema bien planteado, introducida por el matemático Jacques Hadamard. Cuando se propone un nuevo problema matemático, lo primero que tienen que hacer los matemáticos es establecer que el problema tiene solución, que sólo tiene una solución y que la solución depende de una manera razonable de los datos (por ejemplo, si la ecuación relaciona el voltaje con la iluminación en una bombilla, un pequeño aumento del voltaje sólo debería producir un pequeño aumento de la iluminación).
Un problema que tiene estas propiedades se llama "bien planteado". Cuando los matemáticos establecen que un problema matemático está bien planteado, se aseguran de que es una pregunta razonable antes de intentar responderla. Los investigadores de muchos otros campos harían bien en adoptar hábitos epistemológicos tan cuidadosos. Por desgracia, no existe ninguna introducción filosófica a este tema.
La opinión popular actual es que las matemáticas han atravesado una serie de crisis lógicas o epistemológicas que las han perjudicado gravemente. Para una historia de estas "crisis" (por ejemplo, la invención de la geometría no euclidiana y el descubrimiento de las paradojas de la teoría de conjuntos), y un estudio exhaustivo de los problemas de la filosofía matemática moderna, véase Mathematics: The Loss of Certainty, de Morris Kline. Kline era matemático; este libro refleja fielmente el tipo de actitud que uno encuentra entre los profesionales, y está bien documentado con las matemáticas pertinentes.
Para determinar si hay fallos en los fundamentos de una materia, primero hay que responder a la cuestión epistemológica más básica de qué constituye un fundamento adecuado. La posición objetivista de que todo conocimiento debe basarse en la percepción, y captarse y organizarse conceptualmente, no ha desempeñado prácticamente ningún papel en el desarrollo histórico de la filosofía de las matemáticas. La tarea principal de un enfoque objetivista es fundamentar las matemáticas objetivamente. Una importante tarea secundaria es explicar cómo otros presupuestos epistemológicos han provocado la sensación de crisis y duda que ha caracterizado a este campo.
The Philosophy of Mathematics, an Introductory Essay, de Stephan Korner, es un tratamiento menos detallado histórica y matemáticamente que el de Kline, pero más sofisticado desde el punto de vista filosófico. Korner dedica dos capítulos cada uno -uno expositivo y otro crítico- a cada una de las tres principales escuelas modernas de pensamiento sobre filosofía matemática: los formalistas, los logicistas y los intuicionistas. La exposición de Korner es clara, concisa e imparcial.
La escuela logicista, cuyas figuras centrales son Bertrand Russell y Gottlob Frege, tenía como propósito "reducir las matemáticas a la lógica". La Introducción a la filosofía matemática de Russell es una introducción no técnica al programa logicista. La concepción logicista de la lógica es radicalmente diferente de la concepción objetivista, o más en general, aristotélica de la lógica; y es una visión de la lógica presupuesta en la mayor parte de la filosofía matemática moderna. La Introducción de Russell es una exposición excepcionalmente clara de esta concepción de la lógica y de su aplicación a las matemáticas. Es valiosa como guía de las premisas que un enfoque objetivo de los fundamentos de las matemáticas tendrá que cuestionar.
Las obras de Henry Veatch, en particular Intentional Logic, critican la concepción de la lógica de Russell desde una perspectiva aristotélica. Veatch argumenta a partir de un principio con el que el Objetivismo está de acuerdo: que la conciencia es intencional, que siempre es de o acerca de un mundo que existe y tiene identidad independientemente de la conciencia.
La escuela formalista fue fundada por el matemático David Hilbert. Los formalistas pretenden expresar las matemáticas como sistemas lógicos estrictamente formales y estudiarlos como tales, sin preocuparse por su significado. (Esto contrasta con los logicistas, que tratan de establecer el significado de las nociones matemáticas definiéndolas en términos de conceptos de la lógica). Su principal motivación era justificar las matemáticas de los conjuntos infinitos, desarrolladas por Georg Cantor a finales del siglo XIX. Los formalistas esperaban expresar las matemáticas de los conjuntos infinitos en un sistema de este tipo y establecer la consistencia de dicho sistema mediante métodos finitos. Si lo conseguían, pensaban, habrían justificado el uso de los conjuntos infinitos sin tener que abordar la espinosa cuestión de qué son esos conjuntos.
El enfoque formalista se explica e ilustra en Godel's Proof, de Ernest Nagel y James Newman. Este breve libro es una obra maestra a la hora de hacer accesible material sofisticado a los no expertos. El libro comienza con una exposición del formalismo y concluye con un resumen muy ameno de la demostración del teorema de incompletitud de Kurt Godel. Este teorema demostró, en los propios términos de los formalistas, que su programa era insostenible.
Los intuicionistas, cuyo líder fue el matemático L.E.J. Brouwer, son conocidos sobre todo por su conservadurismo respecto a la infinitud matemática. Se oponen a la aplicación de la ley del medio excluido a las afirmaciones que implican infinitudes matemáticas, como en una demostración que adopta la siguiente forma: o existe un número con la propiedad P o no existe; si no, se sigue una consecuencia que se sabe falsa; por tanto, existe un número con la propiedad P. Este tipo de demostraciones no nos dicen qué es el número en cuestión ni por qué tiene la propiedad. Las demostraciones constructivas, en cambio, sí proporcionan esta información, y los intuicionistas exigen demostraciones constructivas de los teoremas matemáticos.
Los intuicionistas encuentran sus raíces filosóficas en Kant. Sin embargo, su cautela respecto al infinito debería resultar atractiva para los objetivistas. Su posición sobre la ley del medio excluido puede interpretarse como una exigencia de que un enunciado se establezca como significativo antes de aplicarle las leyes de la lógica, una exigencia que el Objetivismo ciertamente apoya. Su insistencia en las pruebas constructivas puede verse como un medio de especificar qué se entiende por la existencia de un número.
Desgraciadamente, los intuicionistas no siempre son claros sobre el significado y los fundamentos filosóficos de sus posiciones; atienden a los detalles matemáticos a expensas de la exposición filosófica. No hay una introducción como la de Russell o Nagel y Newman. Hay varios artículos de intuicionistas -Brouwer, Heyting y Dummett- en la colección Philosophy of Mathematics, Selected Readings, editada por Paul Benacerraf y Hilary Putnam. La introducción a este volumen también contiene una clara discusión de los principios intuicionistas.
Una comprensión adecuada de la abstracción es un requisito previo para explicar los conceptos matemáticos. Las teorías históricas de los conceptos matemáticos han tendido a encarnar los peores aspectos de las teorías históricas de los universales; el realismo platónico, el idealismo kantiano y el nominalismo extremo dominan el tema.
La identificación de Ayn Rand de la naturaleza de los universales y su análisis del proceso de abstracción tienen mucho que aportar a la filosofía de las matemáticas. Sin embargo, no existe literatura objetivista sobre este tema. En el ensayo "The Cognitive Basis of Arithmetic" de David Ross se da una indicación de un enfoque objetivista del tema. Los comentarios de Ayn Rand sobre diversos temas matemáticos figuran en el apéndice de la edición de 1990 de Introducción a la epistemología objetivista.
El objetivismo reconoce una conexión más profunda entre las matemáticas y la filosofía de lo que han imaginado los defensores de otras filosofías. Según la teoría de Ayn Rand, el proceso de formación de conceptos implica la captación de relaciones cuantitativas entre unidades y la omisión de sus medidas específicas. De este modo, sitúa las matemáticas en el núcleo del conocimiento humano como elemento crucial del proceso de abstracción. Se trata de una visión nueva y radical del papel de las matemáticas en la filosofía. Como ha dicho Leonard Peikoff en Objectivism: La filosofía de Ayn Rand:
Así, un área que una filosofía objetivista de las matemáticas debe abordar es el significado y la estructura de la medida en la teoría de la omisión de la medida; este subcampo de la filosofía de las matemáticas podría llamarse las matemáticas de la filosofía. Para el punto de vista objetivista, véanse las discusiones de Rand en Introduction to Objectivist Epistemology, Peikoff's Objectivism: The Philosophy of Ayn Rand, de Peikoff, y "A Theory of Abstraction", de David Kelley.
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